Nombre de rotation et dynamique faiblement hyperbolique.
Résumé
This thesis deals with two main branches of dynamical systems: the rotation number theory for degree-one circle endomorphisms and for annulus twist maps, and the theory of non-uniformly hyperbolic dynamical systems. First we define the almost sure rotation number for some circle endomorphisms. It is the rotation number for almost every point of the circle. We describe it for a family of expanding piecewise affine bimodal endomorphisms. We study its regularity and show that the set of parameters which give an irrational almost sure rotation number has full Lebesgue measure. Then we consider annulus twist maps and more precisely bimodal maps from the fattened Arnol'd family. A key role is played by twist-free orbits. It is shown that the set of maps that possess a given rotation number formes, in the parameter space, a tongue bounded by two surfaces. The boundary of rational tongues is associated with homoclinic and saddle-node bifurcations. We finish with some estimates on the size of the rotation set and on the Birkhoff attractor. The appendix is devoted to saddle-node bifurcations of locally maximal hyperbolic sets whose unstable direction is one-dimensional. This bifurcation preserves the geometrical decomposition of the tangent space into stable and unstable spaces. However the expansion along the unstable direction degenerates near a periodic orbit. The bifuraction is one-codimensional.
Cette thèse s'appuie sur deux branches des systèmes dynamiques : la théorie du nombre de rotation des endomorphismes du cercle de degré un et des applications de l'anneau déviant la verticale, ainsi que la théorie des systèmes non-uniformément hyperboliques. Nous nous intéressons tout d'abord à une classe d'applications bimodales du cercle, dilatantes et affines par morceaux. Chaque application de cette famille possède un nombre de rotation presque sûr : c'est le nombre de rotation de presque tout point du cercle. Nous étudions sa régularité et montrons que le nombre de rotation presque sûr est irrationnel pour un ensemble de paramètres de mesure totale. Nous considérons ensuite les applications de l'anneau qui dévient la verticale et plus particulièrement les applications bimodales de la famille d'Arnol'd épaissie. Un rôle essentiel est joué par les orbites de torsion nulle. Elles permettent de montrer que l'ensemble des applications qui possèdent un nombre de rotation fixé, forme dans l'espace des paramètres une langue d'Arnol'd bordée par deux surfaces. La frontière des langues rationnelles est associée à des bifurcations selle-noeud et homoclines. Nous obtenons enfin des estimations sur la taille de l'ensemble de rotation et de l'attracteur de Birkhoff. L'appendice est consacré aux bifurcations selles-noeud d'ensembles hyperboliques localement maximaux dont la direction instable est de dimension un. Cette bifurcation préserve la décomposition géométrique de l'espace tangent en espaces stables et instables. En revanche, l'expansion dans la direction instable dégénère près d'une orbite périodique. Nous obtenons alors une bifurcation de codimension un.