Study of an ill-posed convex optimal control problem
Etude d'un problème de contrôle optimal convexe mal posé
Résumé
Let Ω be a bounded open of the Euclidean space R^N, N >= 3, whose boundary Γ is the union Γ_0 ∪ Γ_1 of two class C^inf, compact related and disjoint varieties. Ω is assumed to be locally on one side of Γ . Let α, α', β, β' be four strictly positive real numbers. Our purpose is to study the optimal control problem corresponding to the following data:
* The set of admissible controls U_ad is
U_ad = {(v_0,v_1) ∈ (L^2(Γ_0))^2, v_0(x) (resp. v_i(x)) ∈ [-α, β] (resp. [-α',-β']) p.p. x ∈ Γ_0}
* The state z of the system verifies the conditions:
(c_0) z ∈ L^2(Ω); Δz = 0; z = v_0 on Γ_0; ∂z/∂v = v_1 on Γ_0
* The cost function to be minimized is given by
j(z,v_0,v_1) = 1/2 |z-z_d|^2_L^2(Ω) + 1/2 |v_0|^2_L^2(Γ_0) + 1/2 |v_1|^2_L^2(Γ_0)
(z_d being a fixed element of L^2(Ω)
Classical methods show that this control problem has a unique solution. However, this problem is ill-posed, in that the adjoint state cannot be determined by the usual methods, which makes it difficult to write down the optimality conditions. We are led here to study this optimal control problem directly as a convex optimization problem in the space
W ={ z ∈ L^2(Ω), Δz ∈ L^2(Ω), (z, ∂z/∂v) ∈ (L^2(Γ_0))^2}
whose formulation is obviously as follows:
(P) Inf {1/2 |z-z_d|^2_L^2(Ω) + 1/2 |z|^2_L^2(Γ_0) + 1/2 |∂z/∂v|^2_L^2(Γ_0)}
for z ∈ W, Δz = 0, z(x) (resp. ∂z/∂v(x)) ∈ [-α, β] (resp. [-α',-β']) for almost all x ∈ Γ_0.
Determining the adjoint state of the solution to this problem is equivalent to finding solutions to the dual problem of (P), i.e. (P*) :
(P*) Sup {-1/2 |Δq|^2_L^2(Ω) + ∫_ Ω Δq.z_d dx - ∫_ Γ_0 h_α, β(-∂q/∂v) dΓ - ∫_ Γ_0 h_α, β (q) dΓ}
for q ∈ W, q = ∂q/∂v = 0 on Γ_1 and h_α, β defined by :
h_α, β(s) = s^2/2, s ∈ [-α, β]
= β(s - β/2), s >= β
= -α(s + α/2), s <= -α
The study of problems (P) and (P*): existence of solutions, system of optimality conditions, will therefore constitute the major part of our work.
Soit Ω un ouvert borné de l'espace euclidien R^N, N >= 3, dont le frontière Γ est la réunion Γ_0 ∪ Γ_1 de deux variétés de classe C^inf, compactes connexes et disjointes. Ω est supposé être localement d'un seul coté de Γ . Soit α, α', β, β' quatre réels strictement positifs. Notre propos est d'étudier le problème de contrôle optimal correspondant aux données suivantes :
* L'ensemble des contrôles admissibles U_ad est
U_ad = {(v_0,v_1) ∈ (L^2(Γ_0))^2, v_0(x) (resp. v_i(x)) ∈ [-α, β] (resp. [-α',-β']) p.p. x ∈ Γ_0}
* L'état z du sytème vérifie les conditions :
(c_0) z ∈ L^2(Ω) ; Δz = 0 ; z = v_0 sur Γ_0 ; ∂z/∂v = v_1 sur Γ_0
* La fonction coût, que l'on cherche à minimiser, est donnée par
j(z,v_0,v_1) = 1/2 |z-z_d|^2_L^2(Ω) + 1/2 |v_0|^2_L^2(Γ_0) + 1/2 |v_1|^2_L^2(Γ_0)
(z_d étant un élément fixe de L^2(Ω)
On voit par des méthodes classique que ce problème de contrôle admet une solution unique. Toutefois ce problème est mal posé, dans la mesure où l'état adjoint ne peut être déterminé par les méthodes usuelles ce qui rend difficile l'écriture des conditions d'optimalité. Nous sommes amenés ici à étudier directement ce problème de contrôle optimal comme un problème d'optimisation convexe dans l'espace
W ={ z ∈ L^2(Ω), Δz ∈ L^2(Ω), (z, ∂z/∂v) ∈ (L^2(Γ_0))^2}
dont la formulation est évidemment la suivante :
(P) Inf {1/2 |z-z_d|^2_L^2(Ω) + 1/2 |z|^2_L^2(Γ_0) + 1/2 |∂z/∂v|^2_L^2(Γ_0)}
pour z ∈ W, Δz = 0, z(x) (resp. ∂z/∂v(x)) ∈ [-α, β] (resp. [-α',-β']) pour presque tout x ∈ Γ_0.
La détermination de l'état adjoint de la solution de ce problème est équivalente à la recherche de solutions du problème dual de (P), soit (P*) :
(P*) Sup {-1/2 |Δq|^2_L^2(Ω) + ∫_ Ω Δq.z_d dx - ∫_ Γ_0 h_α, β(-∂q/∂v) dΓ - ∫_ Γ_0 h_α, β (q) dΓ}
pour q ∈ W, q = ∂q/∂v = 0 sur Γ_1 et h_α, β définie par :
h_α, β(s) = s^2/2, s ∈ [-α, β]
= β(s - β/2), s >= β
= -α(s + α/2), s <= -α
L'étude des problèmes (P) et (P*) : existence de solutions, système des conditions d'optimalité, va donc constituer la majeure partie de notre travail.
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