Self-similarity tests for Gaussian processes. Fractal dimension and correlation dimension.
Tests d’autosimilarité des processus gaussiens. Dimension fractale et dimension de corrélation.
Résumé
This thesis is composed of four parts connected by the notion of fractality. The first part is an overview of chaotic dynamical systems. An important place is given to different dimensions and Lyapunov exponents. Statistic treatments of these notions are then ex posed, with a special interest for correlation dimension and local Lyapunov exponents. The second part is a study of a correlation dimension, said local, for continuous stochas tic processes. This dimension is given by the asymptotic behaviour of self-intersection occupation measure. We compare first this dimension to Hausdorff one. We compute then local correlation dimension of multiparameter fractional Brownian motion and give new bounds for Hausdorff dimension. The third part presents a method for testing self-similarity of discretized observations of a Gaussian process with stationary incre ments. The test is based on the estimation of a distance between the process and a set of processes containing all the fractional Brownian motions. This distance is based on two estimations of given variances of increments. The second one requires regression estimates of the self-similarity index H. Two estimators of H are then introduced. They present good robustness and computing time properties. The test also gives a method to find a sampling period where fractional Brownian motion modeling should be pos sible. The fourth part studies a second self-similarity test for time series using wavelet analysis. The test statistic is a distance between two estimations of variances of wavelet coefficients for given scales. Two estimators of self-similarity index are also introduced and they present good robustness and computing time properties.
Cette thèse est composée de quatre parties reliées par la notion de fractalité. La première partie est un aperçu des systèmes dynamiques chaotiques. Une place importante est accordée aux différentes dimensions et aux exposants de Lyapunov. Des traitements statistiques de ces notions sont ensuite proposés, avec un intérêt particulier pour la dimension de corrélation et les exposants de Lyapunov locaux. La deuxième partie est une étude d'une dimension de corrélation, dite locale, pour les processus stochastiques continus. Cette dimension est donnée par le comportement asymptotique de la mesure d'occupation de l'auto-intersection. Nous comparons d'abord cette dimension à celle de Hausdorff. Nous calculons ensuite la dimension de corrélation locale du mouvement brownien fractionnaire multiparamétrique et donnons de nouvelles bornes pour la dimension de Hausdorff. La troisième partie présente une méthode pour tester l'autosimilarité des observations discrétisées d'un processus gaussien avec des incréments stationnaires. Le test est basé sur l'estimation d'une distance entre le processus et un ensemble de processus contenant tous les mouvements browniens fractionnaires. Cette distance est basée sur deux estimations des variances données des incréments. La seconde nécessite des estimations de régression de l'indice d'autosimilarité H. Deux estimateurs de H sont ensuite introduits. Ils présentent de bonnes propriétés de robustesse et de temps de calcul. Le test donne également une méthode pour trouver une période d'échantillonnage où la modélisation du mouvement brownien fractionnaire devrait être possible. La quatrième partie étudie un second test d'autosimilarité pour les séries temporelles à l'aide de l'analyse par ondelettes. La statistique du test est une distance entre deux estimations des variances des coefficients d'ondelettes pour des échelles données. Deux estimateurs de l'indice d'autosimilarité sont également introduits et présentent de bonnes propriétés de robustesse et de temps de calcul.
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